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El logaritmo decimal en el cálculo algebraico

Publicado por , el 26/07/2018 Blog > Apoyo escolar > Matemáticas > ¿Qué Es una Función Decimal?

«La palabra más peligrosa en matemáticas es “evidente”». Eric Temple Bell (1883-1960), matemático escocés.

Este famoso matemático, inventor de los «polinomios de Bell», resume en una frase la esencia de las matemáticas: una disciplina solo puede ser científica si sus hipótesis se pueden refutar, es decir, si se pueden cuestionar.

El objeto de las matemáticas (en el cálculo aritmético y algebraico) también es proporcionar una infinidad de números complejos y cantidades desconocidas. Esto permite conocer el valor de varias variables desconocidas y resolver ecuaciones e inecuaciones, dibujar tablas de signos y la tabla de variación de una función (ya sea una función afín, una función exponencial o una función logarítmica) a partir de la derivada.

Las matemáticas nacieron en torno a la época de la Antigua Grecia, con matemáticos destacados como Arquímedes, Euclides, Pitágoras o Tales.

Después de más de 1500 años de evolución científica, período en el que se desarrolló la astronomía en Europa, durante el Renacimiento (siglos XVI-XVII), los cálculos se complicaron para realizarlos con precisión y  sin cometer ningún error.

Los matemáticos inventaron estratagemas y teoremas para simplificar esos cálculos complejos: la definición de logaritmo debemos atribuírsela a John Napier (1550-1617), quien en su primera obra nos describe cómo utilizar los logaritmos para poder resolver problemas con triángulos y nos aporta una tabla de logaritmos, herramienta que permite transformar los productos en sumas.

Estos descubrimientos permitieron el cálculo del área de una hipérbola, el estudio de la función logarítmica y de la función exponencial.

En este artículo, Superprof se centrará en la función logarítmica decimal, denotada como y = log(x). ¿Qué es una función logarítmica?

Un poco de historia sobre la función logarítmica

Los logaritmos suponen una piedra angular en la historia de las matemáticas.

Nacieron con la creación de las tablas de logaritmos con el propósito de facilitar los cálculos astronómicos, a principios del siglo XVII.

Cómo calcular logaritmos. Si queremos calcular log(34), ¿cómo lo podemos calcular? Los genios matemáticos del siglo XVII nos han facilitado la vida…

De hecho, la complejidad de los cálculos fue lo que llevó a los astrónomos y matemáticos a buscar herramientas para facilitar los cálculos de productos y cocientes. La ciencia matemática ya conocía por ese entonces las tablas de trigonometría para encontrar el producto de dos números enteros A y B utilizando el coseno.

Sin embargo, el cálculo de los ángulos resulta poco práctico: Jost Bürgi y John Napier crearon una método más sencillo, una tabla de lectura de correspondencia entre las secuencias geométricas de primer término 108 y de razón 1.000 y las secuencias aritméticas de primer término 0 y de razón 10.

En una época en la que todos los cálculos se hacían a mano, era complejo multiplicar los productos por los cocientes.

Calcular el área de una hipérbola y la tangente de cada punto en una curva exponencial para todo «x» positivo se puede calcular con un número real y la lectura de los senos y cosenos de las tablas trigonométricas.

Sin embargo, conocer todos los valores de una función (incluidos los números decimales) requiere una infinidad de cálculos.

Fue Henry Briggs quien, junto con J. Napier, construyó la primera tabla de logaritmos decimales en 1615. Posteriormente, las tablas trigonométricas y una tabla de anti-logaritmos.

Estas tablas numéricas, de hasta catorce decimales (en la tabla de Briggs), servirían como una herramienta básica para estudiar la función logarítmica durante tres siglos, antes de ser destronadas por la invención de la calculadora a finales del siglo XX.

En Secundaria, el análisis de la función logaritmo decimal ha perdido su grandeza, en parte debido a la calculadora gráfica, que la incluye entre sus funciones y que permite, por lo tanto, simplificar los cálculos.

Libros de logaritmos. Antes de la calculadora, era preciso tener un libro para calcular las funciones logarítmicas decimales.

No obstante, los libros siguen siendo muy útiles en soporte físico a la hora de abordar valores comprendidos entre 10−10 y 1010… Por ejemplo, es la bestia negra de los alumnos de Secundaria para calcular los decibelios en acústica o en física y química para evaluar los tests de pH o para controlar una solución acuosa.

Para recordar bien las funciones logarítmicas (logaritmo neperiano y decimal), las clases de Bachillerato te ayudarán a realizar las clases y ejercicios.

Descubre aquí lo que es una división euclídea.

El logaritmo decimal, teorema y propiedades algebraicas

Para realizar la representación gráfica de números que varían en varios órdenes de magnitud, en un intervalo de 1 a 1.000, por ejemplo, es imposible recurrir a la escala habitual con graduaciones proporcionales a los números.

Logaritmos decimales. Imagina las páginas de cálculo monumentales que hay que calcular para encontrar cada punto decimal de la función log(x).

En una representación ortonormal, si 1 milímetro representa el valor 1, entonces 1 centímetro representará el valor 10. De este modo, necesitarás una hoja de un metro para representar el valor 1.000.

Sin embargo, para dimensiones pequeñas, se necesita una hoja de diez kilómetros para representar valores que van desde 10−10 hasta 10−3 con la misma graduación.

Por lo tanto, las matemáticas utilizan la escala logarítmica, lo que permite multiplicar un valor por un mismo factor (por ejemplo, 10−10) que pasa de una graduación a la siguiente: las distancias sobre el eje son proporcionales a los logaritmos de los números representados.

La función logaritmo decimal se escribe de la siguiente manera: log(x) = ln(x)/ln(10). Sus propiedades algebraicas son similares a las del logaritmo natural, denotado por «ln».

Para todo x > 0 y para todo y ∈ R, el log(x) = y <=> x = 10y o incluso, log(10y) = y.

Decimos que el número real «x» se denomina logaritmo de base 10 de a, logaritmo decimal de a, expresado como log10o log(a).

También admitimos que el log de a es el exponente de la potencia de 10 que viene dado por a.

Por lo tanto, para cualquier número real x > 0:

  • log 1 = 0, car 100 = 1,
  • log 10 = 1, car 101 = 10,
  • log 0,1 = – 1 car 10-1 = 0,1,
  • log (10x) = x,
  • log 1/= – log a, porque el logaritmo de  la inversa es igual al opuesto del logaritmo,
  • log a/= log a – log b, porque el logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos,
  • log 2 <=> 0,30103,
  • log 3 <=> 0,447712,
  • log 4 <=> 0,69897.

Como 10x es siempre > 0, el logaritmo de un número negativo o cero no existe: una función logarítmica, por lo tanto, por definición, es creciente y positiva en el intervalo [0; ∞].

Otra propiedad del logaritmo decimal es que el logaritmo de un producto es siempre igual a la suma de los logaritmos. Sabiendo el log a y el log b, podremos determinar el log(ab):

  • = 10x1 <=> log a,
  • b = 10x2 <=> log b,
  • ab = 10x1+x2 <=> log (ab),
  • Por lo tanto, log (ab) = log a + log b.

Teniendo en cuenta estas propiedades algebraicas, ¿cómo podemos verificar que el logaritmo de 2 equivale a 0,30103?

Calculemos el log de 5:

  • log 5 = log (10/2),
  • = log 10 – log 2,
  • = 1 – log 2,
  • = 1 – 0,30103,
  • log 5 = 0,69897.

o el log de 2 = log (10/5):

  • = log 10 – log 5,
  • = 1 – 0,69897,
  • = 0,30103.

Ahora que sabemos cómo calcular un logaritmo simple, ¿cómo podemos determinar el log(20) o el log(400)?

  • log(20) = log (10 x 2 ) = log (10) + log (2) = 1 + log (2) = 1,30103,
  • log (400) = log (100 x 4) = log (100) + log (4) = 2 + log (4) = 2,60205.

¡Descubre aquí nuestra definición de tablas de multiplicar!

Representación gráfica de una función logarítmica decimal

Desde el punto de vista gráfico, a menudo vemos que la función logaritmo decimal adopta una forma ascendente, por lo que diremos que la curva es creciente para todos los números R.

Cómo calcular y representar logaritmos decimales. He aquí el hijo de las tablas de Briggs: con tan solo unos clics, podrás calcular el log(x).

La representación gráfica de una función sirve para establecer su tabla de signos, pero trazar la representación de log(x) es más complicado.

De hecho, hay un valor de log(x) para cualquier valor de «x» entre 0 y +∞. Además, observamos que la función aumenta muy poco, aunque «x» aumente mucho.

En otras palabras, cuando la curva admite una asíntota vertical, la ecuación x = 0 y el limx→0ln(x) = −∞, donde mientras «x» aumenta, «y» crece muy poco.

Pero, ¿cómo se puede trazar la representación gráfica de log(x)?

Al igual que con la representación de una función afín, es necesario establecer una tabla de puntos de referencia elegidos de manera arbitraria. Partiendo de una función logaritmo decimal log(x) definida sobre [0;100], será necesario calcular el logaritmo de varios valores de «x» elegidos al azar para poder conocer la ordenada con respecto a su abscisa.

Sabemos que log (1) = 0 y que log(10) = 1. También sabemos que log 5 = 0,69897.

Para construir una recta de ecuación y = 2x + 5, bastará con dos valores de f(x).

No obstante, hay que tener en cuenta que log(x) no es una recta, sino una curva asíntota.

Por lo tanto, consideraremos los siguientes puntos:

  • log (0,1) = -3,
  • log (1) = 0,
  • log (5) = 0,69,
  • log (10) = 1,
  • log (15) = 1.17,
  • log (20) = 1,30,
  • log (50) = 1,69,
  • log (75) = 1,875,
  • log (100) = 2.

De este modo, podremos dibujar la curva comenzando desde el punto de coordenadas A (0;-3), B (1;0), C (5;0,69), etc., hasta (100;2).

¿De qué nos damos cuenta?

Que la función log(x) es negativa para todo x < 1 y positiva para x > 1.

Cuando x tiende a 0, log(x) tiende a −∞ y viceversa, cuando x tiende a  + ∞, log (x) también tiende a  + ∞.

Pero…

¿Cuál es el signo del log (0,89234545)? ¿Cuál es el signo del log (1226,9258)?

¿Cuáles son las variaciones y las direcciones de log(x)?

Calcula:

  • log (10 x 5),
  • log (1/2).

Uno se puede preguntar de qué sirven los cálculos de los logaritmos de la escuela, sobre todo, para las personas que tienden más a las humanidades.

Sin embargo, conocerlos y dominarlos será beneficioso, por ejemplo, en la universidad para aprobar la carrera de física y química, de matemáticas, de biología o incluso para aquellos que estudien economía.

La asignatura de matemáticas en el Bachillerato de Ciencias o de Tecnología puede además mejorar la nota media del Bachillerato y permitir obtener una matrícula de honor.

¿Sigues encontrado algunas dificultades? Nuestros profesores de Superprof te ayudarán con sus clases particulares.

Descubre aquí nuestra definición de álgebra

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